Phiếm hàm tích phân

Một ví dụ điển hình của phiếm hàm tuyến tính là phép tính tích phân: ánh xạ tuyến tính được cho bởi

I ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

Nó là một phiếm hàm tuyến tính từ không gian véc-tơ C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] vào các số thực. Tính tuyến tính của I là hệ quả của các tính chất sau của phép tính tích phân:

I ( f + g ) = ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x = I ( f ) + I ( g ) I ( α f ) = ∫ a b α f ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x = α I ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}

Phiếm hàm đánh giá

Đặt Pn là không gian véc-tơ các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n. Nếu c ∈ [a, b], ta đặt evc: Pn → R

ev c ⁡ f = f ( c ) . {\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}

và gọi nó là phiếm hàm đánh giá. Ánh xạ f → f(c) là tuyến tính bởi vì

( f + g ) ( c ) = f ( c ) + g ( c ) ( α f ) ( c ) = α f ( c ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}